Meine Damen und Herren, herzlich willkommen zur Vorlesung der Methode Definitenelemente.

Wir haben uns ja beim letzten Mal mit Anforderungen an die Formfunktionen beschäftigt und hatten

zuletzt uns über die Stetigkeitsforderung Gedanken gemacht und wir wollen das heute

noch einmal vertiefen in gewisser Hinsicht und zwar am Beispiel des Balkens.

Und zwar die ganz normale Balkentheorie, die Sie kennen, also der Schubstarre Euler-Bernoulli-Balken.

Da hatten wir am Anfang des Semesters uns mal das Prinzip der virtuellen Verschiebung

hergeleitet. Wir haben den ersten Term, da steht hier die virtuelle Verschiebung mal

rho aw2 gepunktet. Das ist die translatorische Drehigkeit, die Beschleunigung mal die Massenbelegung

pro Länge sozusagen, rho mal a. Der zweite Term ist die Drehträgheit, da steht rho mal

i, also das Flächenträgheitsmoment, mal die Dicht, also das Massenträgheitsmoment des

Querschnittes, mal die Winkelbeschleunigung w' 2 gepunktet. Das ist die Winkelbeschleunigung,

also die Drehigkeit in Folge kippen des Querschnittes. Das kann man im Allgemeinen nachher vernachlässigen.

Also wenn wir sehen, dass der Term keine großen Rolle spielt. Dann haben wir die Steifigkeitstermen

delta w' 2 gestrichen, e i w' 2 gestrichen. E i w' 2 gestrichen ist das Moment, das ist sozusagen die Arbeit

des Momentes an den virtuellen Krümmungen, w' 2 gestrichen ist die Krümmung und delta w' 2 gestrichen

wäre die virtuelle Krümmung. Das ist also die innere Arbeit, die virtuelle innere Arbeit. Und auf der

rechten Seite stehen die äußeren Arbeiten, delta w mal qz, also die Arbeit der Streckenlast, qz von x

und die Arbeit dann der Randterme, ja schon in der fe Notation, also an allen Richtungen immer in

positive Richtung eingetragen. qi und qj arbeiten an einem delta w, also an der Verschiebung an der

Stelle und die beiden Endmomente mi und mj, hier jetzt immer in mathematisch positiven Sinne von z

nach x drehen eingetragen, drehen halt an dem w' an der Neigung, aber man sieht, dass das w' so

wie es definiert ist, halt positiv entgegen dem m dreht, sodass da das Minuszeichen auftaucht.

Das sind die vier Einzellasten, Normallast, also eine Dehnung in Stabrichtung sozusagen,

n und ein u in x Richtung haben wir nicht in der Stelle, es soll in diese Richtung nicht

belastet sein, es soll sich auch nichts tun, na das wäre der Stabanteil, aber den haben wir

ja schon behandelt. So wenn ich mir jetzt erinnere an diese Merkregel vom letzten Mal, dass wir

gesagt haben, die notwendige Ableitung oder die notwendige Stetigkeit der Ansatzfunktion über

das Gesamtgebiet muss der höchsten Ableitung minus eins entsprechen, dann schaut man sich an,

dass die höchste Ortsableitung, nur darum geht es, in der inneren Arbeit da w2 gestrichen bzw.

delta w2 gestrichen ist, das ist also die zweite Ableitung, so eins weniger wäre 2 minus eins ist

eins, das heißt ich brauche C1 Stetigkeit, das heißt ich muss jetzt mit dem Ansatz für den Balken,

den ich mache, C1 Stetigkeit gewährleisten, damit das vernünftig funktioniert, das heißt mit den

Ansatzfunktionen, die ich für den Stab verwendet hatte, komme ich jetzt nicht mehr aus. Die normalen

Stabansatzfunktionen sind nur C0 Stetig über das Gesamtgebiet. Für Stab, da hätte ich ja

irgendwie sowas, ich habe hier, diskritisiere mein Gebiet hier in Elemente und Knoten und habe dann

Ansatzfunktionen, die sich hier auf den Knotenwerten abstützen sozusagen als Interpolation und mein

wegen dazwischen linear interpolieren. Dann habe ich hier ein Knick, das ist zulässig für den Stab,

also ich habe sozusagen nur C0 Stetigkeit, Stetigkeit in dieser Form. Für den Balken

brauche ich aber C1 Stetigkeit. Das heißt ich muss jetzt Ansatzfunktionen konstruieren,

die hier beim Übergang von einem Element ins nächste auch noch die Ableitung stetig erhalten.

Gut, wie kriege ich das hin? Ganz einfach dadurch, dass ich die Größe, die ich stetig halten möchte,

selber als Unbekannte am Knoten mitschleppe. Ich habe C0 Stetigkeit, in dem das Element hier

links und das Element rechts den gleichen Verschiebungswert verwendet, nämlich den

Verschiebungswert an dem Knoten, damit ist der links und rechts gleich, wenn ich jetzt sozusagen,

ich habe als Knotengröße nicht nur die Verschiebung, sondern auch noch die Ableitung an dem Punkt und

das Element links und rechts verwenden nicht nur die gleiche Verschiebung, sondern auch noch die

gleiche Ableitung, dann habe ich genau C1 Stetigkeit erreicht. Das heißt, wenn ich höhere Stetigkeit

haben möchte, dann muss ich die Ableitung oder bis zu der Ordnung Ableitung, die ich stetig haben

möchte, diese Ableitung auch noch als Knoten Unbekannte mitführen. Das heißt, ich muss Ableitung

als Knoten variable mitführen. Das heißt also für den Balken, daraus würde ich sozusagen